बहुभुज वह बंद आकृति होती है जो सीधी रेखाओं (line segments) से मिलकर बनती है।
इन रेखाओं को भुजाएँ (sides) कहा जाता है और जहाँ दो भुजाएँ मिलती हैं, वहाँ बनने वाले बिंदु को कोण (vertex) कहते हैं।
संक्षिप्त परिभाषा:
तीन या उससे अधिक सीधी रेखाओं से बनी बंद आकृति को बहुभुज कहते हैं।
बहुभुज की विशेषताएँ
- बहुभुज हमेशा बंद आकृति होती है।
- इसमें कोई वक्र रेखा (curved line) नहीं होती।
- सभी भुजाएँ सीधी और आपस में सिरों पर मिलती हैं।
- न्यूनतम भुजाओं की संख्या 3 होती है (जिसे त्रिभुज कहते हैं)।
बहुभुज के प्रकार (Types of Polygons)
- नियमित बहुभुज (Regular Polygon):
सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं।
जैसे — समबाहु त्रिभुज, वर्ग, नियमित पंचभुज। - अनियमित बहुभुज (Irregular Polygon):
भुजाएँ या कोण समान नहीं होते। - उत्तल बहुभुज (Convex Polygon):
इसके सभी आंतरिक कोण 180° से छोटे होते हैं। - अवतल बहुभुज (Concave Polygon):
इसके एक या अधिक आंतरिक कोण 180° से बड़े होते हैं।
बहुभुज के मुख्य सूत्र (Formulas of Polygon)
1. आंतरिक कोणों का योग (Sum of Interior Angles)
यदि किसी बहुभुज की भुजाओं की संख्या nnn है, तो आंतरिक कोणों का योग=(n−2)×180∘\text{आंतरिक कोणों का योग} = (n – 2) \times 180^\circआंतरिक कोणों का योग=(n−2)×180∘
उदाहरण:
यदि n=5n = 5n=5 (पंचभुज), (5−2)×180=3×180=540∘(5 – 2) \times 180 = 3 \times 180 = 540^\circ(5−2)×180=3×180=540∘
अर्थात पंचभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 540° है।
2. प्रत्येक आंतरिक कोण (Interior Angle of a Regular Polygon)
यदि बहुभुज नियमित है, प्रत्येक आंतरिक कोण=(n−2)×180∘n\text{प्रत्येक आंतरिक कोण} = \frac{(n – 2)\times 180^\circ}{n}प्रत्येक आंतरिक कोण=n(n−2)×180∘
उदाहरण:
षट्भुज (Hexagon) में n=6n = 6n=6: प्रत्येक कोण=(6−2)×1806=7206=120∘\text{प्रत्येक कोण} = \frac{(6-2)\times180}{6} = \frac{720}{6} = 120^\circप्रत्येक कोण=6(6−2)×180=6720=120∘
3. प्रत्येक बाह्य कोण (Exterior Angle of a Regular Polygon)
प्रत्येक बाह्य कोण=360∘n\text{प्रत्येक बाह्य कोण} = \frac{360^\circ}{n}प्रत्येक बाह्य कोण=n360∘
साथ ही यह ध्यान रखें: आंतरिक कोण+बाह्य कोण=180∘\text{आंतरिक कोण} + \text{बाह्य कोण} = 180^\circआंतरिक कोण+बाह्य कोण=180∘
4. सभी बाह्य कोणों का योग
सभी बाह्य कोणों का योग=360∘\text{सभी बाह्य कोणों का योग} = 360^\circसभी बाह्य कोणों का योग=360∘
यह किसी भी बहुभुज के लिए समान रहता है — चाहे वह नियमित हो या अनियमित।
बहुभुज के उदाहरण (Examples)
उदाहरण 1: त्रिभुज (Triangle)
- n=3n = 3n=3
- आंतरिक कोणों का योग = (3−2)×180=180°(3-2)\times180 = 180°(3−2)×180=180°
उदाहरण 2: चतुर्भुज (Quadrilateral)
- n=4n = 4n=4
- आंतरिक कोणों का योग = (4−2)×180=360°(4-2)\times180 = 360°(4−2)×180=360°
उदाहरण 3: पंचभुज (Pentagon)
- n=5n = 5n=5
- आंतरिक कोणों का योग = (5−2)×180=540°(5-2)\times180 = 540°(5−2)×180=540°
- प्रत्येक आंतरिक कोण (यदि नियमित हो) = 540/5=108°540/5 = 108°540/5=108°
उदाहरण 4: षट्भुज (Hexagon)
- n=6n = 6n=6
- आंतरिक कोणों का योग = (6−2)×180=720°(6-2)\times180 = 720°(6−2)×180=720°
- प्रत्येक आंतरिक कोण (यदि नियमित हो) = 120°120°120°
- प्रत्येक बाह्य कोण = 60°60°60°
बहुभुज से जुड़े महत्त्वपूर्ण बिंदु (Key Facts)
- n=3n = 3n=3 ⇒ त्रिभुज
- n=4n = 4n=4 ⇒ चतुर्भुज
- n=5n = 5n=5 ⇒ पंचभुज
- n=6n = 6n=6 ⇒ षट्भुज
- n=7n = 7n=7 ⇒ सप्तभुज
- n=8n = 8n=8 ⇒ अष्टभुज
- n=9n = 9n=9 ⇒ नवभुज
- n=10n = 10n=10 ⇒ दशभुज
FAQs
Q1. बहुभुज किसे कहते हैं?
तीन या उससे अधिक सीधी रेखाओं से बनी बंद आकृति को बहुभुज कहते हैं।
Q2. बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग कैसे निकालते हैं?
(n−2)×180°(n – 2) \times 180°(n−2)×180° के सूत्र से।
Q3. प्रत्येक आंतरिक कोण का माप कैसे पता करें?
यदि बहुभुज नियमित है तो (n−2)×180°n\frac{(n – 2)\times180°}{n}n(n−2)×180° से।
Q4. सभी बाह्य कोणों का योग कितना होता है?
सभी बाह्य कोणों का योग सदैव 360° होता है।
Q5. बहुभुज और वक्र आकृति में क्या अंतर है?
बहुभुज केवल सीधी रेखाओं से बनता है, जबकि वक्र आकृति में घुमावदार रेखाएँ होती हैं।