वृत्त एक समतल ज्यामितीय आकृति (2-D shape) है जिसमें एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समूह होता है।
इस निश्चित बिंदु को केंद्र (Center) कहा जाता है और केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या (Radius) कहा जाता है।
गणितीय रूप से, यदि केंद्र O(h,k)O(h, k)O(h,k) हो और त्रिज्या rrr हो, तो वृत्त का समीकरण होता है – (x−h)2+(y−k)2=r2(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2
और यदि केंद्र मूल बिंदु (0, 0) पर हो, तो समीकरण बनेगा – x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2×2+y2=r2
वृत्त के प्रमुख भाग (Parts of a Circle)
- केंद्र (Center): वृत्त का वह बिंदु जिससे सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।
- त्रिज्या (Radius): केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की दूरी।
- व्यास (Diameter): केंद्र से होकर जाने वाली रेखा जो वृत्त को दो बराबर भागों में बाँटती है। व्यास = 2r2r2r।
- परिधि (Circumference): वृत्त की बाहरी सीमा की कुल लंबाई।
- कॉर्ड (Chord): वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा।
- अर्क (Arc): वृत्त का एक हिस्सा या खंड।
- सेक्टर (Sector): केंद्र से जुड़ी दो त्रिज्याओं और उनके बीच के अर्क द्वारा बना भाग।
- सेगमेंट (Segment): किसी कॉर्ड और उसके संबंधित अर्क द्वारा घिरा हुआ भाग।
वृत्त के सूत्र (Formulas of Circle)
| घटक | सूत्र | विवरण |
|---|---|---|
| व्यास (Diameter) | d=2rd = 2rd=2r | त्रिज्या का दुगना |
| परिधि (Circumference) | C=2πrC = 2\pi rC=2πr या C=πdC = \pi dC=πd | वृत्त की कुल सीमा की लंबाई |
| क्षेत्रफल (Area) | A=πr2A = \pi r^2A=πr2 | वृत्त के अंदर का क्षेत्र |
| सेक्टर का क्षेत्रफल | A=θ360∘×πr2A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2A=360∘θ×πr2 | जहाँ θ केंद्रीय कोण (degree में) है |
| अर्क की लंबाई | L=θ360∘×2πrL = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi rL=360∘θ×2πr | θ कोण पर आधारित |
| कॉर्ड की लंबाई | =2rsin(θ2)= 2r \sin(\frac{\theta}{2})=2rsin(2θ) | केंद्र पर कोण θ हो तो |
| सेगमेंट का क्षेत्रफल | =πr2θ360∘−r2sinθ2= \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ} – \frac{r^2 \sin\theta}{2}=360∘πr2θ−2r2sinθ | अर्क और कॉर्ड से घिरा क्षेत्र |
यहाँ π\piπ का मान लगभग 3.1416 या 227\frac{22}{7}722 लिया जाता है।
वृत्त की विशेषताएँ (Properties of Circle)
- सभी त्रिज्याएँ समान लंबाई की होती हैं।
- समान त्रिज्या वाले सभी वृत्त समरूप (Congruent) होते हैं।
- व्यास सबसे लंबी कॉर्ड होती है।
- यदि किसी कॉर्ड पर केंद्र से लंब खींचा जाए, तो वह कॉर्ड को दो बराबर भागों में बाँटता है।
- दो समान कॉर्ड केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
- व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण सदैव 90° (समकोण) होता है।
- केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी अर्क पर बने परिधीय कोण का दोगुना होता है।
- स्पर्श रेखा (Tangent) हमेशा उस बिंदु की त्रिज्या के लंबवत (Perpendicular) होती है।
- एक ही बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।
- वृत्त एक समान दूरी वाला बंद आकार (Equidistant Closed Shape) होता है।
वृत्त के उदाहरण (Examples of Circle)
उदाहरण 1:
एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। उसका क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करें।
समाधान: C=2πr=2×227×7=44 cmC = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44\, \text{cm}C=2πr=2×722×7=44cm A=πr2=227×72=154 cm2A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\, \text{cm}^2A=πr2=722×72=154cm2
अतः वृत्त की परिधि = 44 cm और क्षेत्रफल = 154 cm²।
उदाहरण 2:
यदि वृत्त का व्यास 14 cm हो, तो उसकी त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात करें।
समाधान: r=d2=142=7 cmr = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7\, \text{cm}r=2d=214=7cm A=πr2=3.14×72=153.86 cm2A = \pi r^2 = 3.14 \times 7^2 = 153.86\, \text{cm}^2A=πr2=3.14×72=153.86cm2
अतः क्षेत्रफल लगभग 153.86 cm² होगा।
उदाहरण 3:
किसी वृत्त की त्रिज्या 10 cm है और केंद्र से किसी कॉर्ड की दूरी 6 cm है। उस कॉर्ड की लंबाई ज्ञात करें।
समाधान: Chord=2r2−d2=2102−62=264=16 cm\text{Chord} = 2\sqrt{r^2 – d^2} = 2\sqrt{10^2 – 6^2} = 2\sqrt{64} = 16\, \text{cm}Chord=2r2−d2=2102−62=264=16cm
अतः कॉर्ड की लंबाई = 16 cm।
क्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs on Circle)
प्रश्न 1: वृत्त क्या होता है?
उत्तर: वह समतल आकृति जिसमें एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर सभी बिंदु हों, उसे वृत्त कहते हैं।
प्रश्न 2: व्यास और त्रिज्या में क्या संबंध है?
उत्तर: व्यास, त्रिज्या का दो गुना होता है। अर्थात् d=2rd = 2rd=2r।
प्रश्न 3: वृत्त का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र क्या है?
उत्तर: A=πr2A = \pi r^2A=πr2 जहाँ rrr वृत्त की त्रिज्या है।
प्रश्न 4: स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण कितना होता है?
उत्तर: 90° यानी त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
प्रश्न 5: वृत्त की परिधि निकालने का सूत्र क्या है?
उत्तर: C=2πrC = 2\pi rC=2πr या C=πdC = \pi dC=πd।
निष्कर्ष (Conclusion)
वृत्त गणित की सबसे बुनियादी और महत्वपूर्ण आकृति है। इसके सूत्र, गुण और सिद्धांत न केवल ज्यामिति में बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग और वास्तुकला में भी प्रयोग होते हैं। यदि आप वृत्त के सूत्रों और विशेषताओं को समझ लें, तो क्षेत्रफल, कोण और दूरी से जुड़े लगभग हर प्रश्न को आसानी से हल किया जा सकता है।