- यह एक त्रिविमीय (3D) ठोस आकृति है।
- इसमें एक आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है।
- इसमें एक शीर्ष बिंदु होता है।
- इसमें कोई किनारा (edge) नहीं होता।
- ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई तीन मुख्य माप हैं।
शंकु के उदाहरण (Examples)
उदाहरण 1
एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
पहले तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें – l=r2+h2=32+42=5 सेमीl = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ सेमी}l=r2+h2=32+42=5 सेमी
(i) वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) CSA=πrl=π×3×5=15π सेमी2CSA = \pi r l = \pi × 3 × 5 = 15\pi\text{ सेमी}^2CSA=πrl=π×3×5=15π सेमी2
(ii) आयतन (Volume) V=13πr2h=13π×9×4=12π सेमी3V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi × 9 × 4 = 12\pi\text{ सेमी}^3V=31πr2h=31π×9×4=12π सेमी3
उदाहरण 2
यदि किसी शंकु की त्रिज्या 7 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है, तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हल: V=13πr2h=13π×72×3=49π घन मीटरV = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi × 7^2 × 3 = 49\pi\text{ घन मीटर}V=31πr2h=31π×72×3=49π घन मीटर
शंकु से संबंधित महत्वपूर्ण संबंध (Relations)
- l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2l2=r2+h2
- आयतन = 13\tfrac{1}{3}31 × बेलन के आयतन के बराबर
- सतह क्षेत्रफल में वक्र पृष्ठ और आधार दोनों के क्षेत्रफल शामिल होते हैं।
(5 FAQs)
प्र1. शंकु का आयतन कैसे निकालते हैं?
→ V=13πr2hV = \tfrac{1}{3} \pi r^2 hV=31πr2h सूत्र से आयतन प्राप्त होता है।
प्र2. शंकु का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल क्या होता है?
→ वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल = πrl\pi r lπrl
प्र3. सम्पूर्ण सतह क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?
→ सम्पूर्ण सतह क्षेत्रफल = πr(l+r)\pi r (l + r)πr(l+r)
प्र4. शंकु की तिर्यक ऊँचाई कैसे निकालते हैं?
→ l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}l=r2+h2
प्र5. बेलन और शंकु के आयतन में क्या अंतर है?
→ समान ऊँचाई और त्रिज्या पर शंकु का आयतन, बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है।
निष्कर्ष (Conclusion)
शंकु एक प्रमुख त्रिविमीय आकृति है जिसका उपयोग गणित, वास्तुकला, और भौतिकी में व्यापक रूप से होता है।
इसमें तीन मुख्य मात्राएँ — त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई — होती हैं, जिनसे हम इसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल, सम्पूर्ण सतह क्षेत्रफल और आयतन आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
सही सूत्रों और उदाहरणों के अभ्यास से यह अध्याय विद्यार्थियों के लिए बहुत सरल और रोचक बन जाता है।