परिभाषा:
वह भिन्न जिसका हर 10,100,1000,1000010, 100, 1000, 1000010,100,1000,10000… यानी 10 की किसी घात के रूप में हो, उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है।
दूसरे शब्दों में — दशमलव भिन्न वे संख्याएँ हैं जिन्हें दशमलव बिंदु लगाकर लिखा जा सकता है।
उदाहरण:
- 0.6=6100.6 = \frac{6}{10}0.6=106
- 1.25=1251001.25 = \frac{125}{100}1.25=100125
- 3.405=340510003.405 = \frac{3405}{1000}3.405=10003405
दशमलव भिन्न के प्रकार
दशमलव भिन्न दो मुख्य प्रकार की होती हैं:
1. समाप्त दशमलव भिन्न (Terminating Decimal Fraction)
वे दशमलव भिन्न जिनका दशमलव भाग कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।
उदाहरण:
0.75,1.2,4.350.75, 1.2, 4.350.75,1.2,4.35
2. असमाप्त दशमलव भिन्न (Non-Terminating Decimal Fraction)
वे दशमलव भिन्न जिनका दशमलव भाग अनंत तक चलता रहता है।
यह दो प्रकार की हो सकती है:
- पुनरावृत्त (Recurring) – 0.333…0.333…0.333…, 0.142857142857…0.142857142857…0.142857142857…
- गैर-पुनरावृत्त (Non-Recurring) – 2=1.4142135…\sqrt{2} = 1.4142135…2=1.4142135…
दशमलव भिन्न के सूत्र और नियम
(1) दशमलव को भिन्न में बदलने का सूत्र
यदि कोई दशमलव संख्या a.bca.bca.bc है,
तो उसे भिन्न रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: a.bc=(a.bc को पूर्णांक में बदलें)10na.bc = \frac{(a.bc \text{ को पूर्णांक में बदलें})}{10^n}a.bc=10n(a.bc को पूर्णांक में बदलें)
जहाँ nnn = दशमलव अंकों की संख्या।
उदाहरण:
2.75=275100=1142.75 = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}2.75=100275=411
(2) भिन्न को दशमलव में बदलने का नियम
यदि किसी भिन्न का हर केवल 2 और 5 के गुणकों का बना हो,
तो वह भिन्न समाप्त दशमलव भिन्न में बदली जा सकती है।
उदाहरण:
38=0.375\frac{3}{8} = 0.37583=0.375
क्योंकि 8=238 = 2^38=23
(3) दशमलव संख्याओं की तुलना
- पहले पूर्ण भाग देखें।
- यदि समान हो तो दशमलव अंकों की तुलना करें।
- यदि दशमलव अंकों की संख्या अलग हो, तो छोटी संख्या के बाद 0 जोड़ें।
उदाहरण:
0.840.840.84 और 0.7920.7920.792 की तुलना करें → 0.840>0.7920.840 > 0.7920.840>0.792
(4) जोड़ और घटाव
- दशमलव बिंदु एक सीध में रखें।
- यदि किसी संख्या में कम दशमलव अंक हों, तो 0 जोड़ें।
- फिर सामान्य जोड़-घटाव करें।
उदाहरण:
3.25+0.7=3.953.25 + 0.7 = 3.953.25+0.7=3.95
(5) गुणा और भाग
- पहले दशमलव हटाकर गुणा करें।
- अंत में कुल दशमलव अंकों की गिनती करें और उतने अंकों के बाद बिंदु लगाएँ।
उदाहरण:
2.3×1.2=2.762.3 \times 1.2 = 2.762.3×1.2=2.76
दशमलव भिन्न के उदाहरण प्रश्न (हल सहित)
प्रश्न 1:
0.560.560.56 को भिन्न रूप में लिखिए।
उत्तर: 0.56=56100=14250.56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}0.56=10056=2514
प्रश्न 2:
720\frac{7}{20}207 को दशमलव रूप में लिखिए।
उत्तर:
720=7×520×5=35100=0.35\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35207=20×57×5=10035=0.35
प्रश्न 3:
3.125+0.783.125 + 0.783.125+0.78 = ?
उत्तर:
3.125+0.780=3.9053.125 + 0.780 = 3.9053.125+0.780=3.905
प्रश्न 4:
यदि किसी रस्सी की लंबाई 5.25 मीटर है और उसे 0.75 मीटर के टुकड़ों में काटा जाए,
तो कुल टुकड़ों की संख्या क्या होगी?
उत्तर:
5.25÷0.75=75.25 ÷ 0.75 = 75.25÷0.75=7 टुकड़े।
प्रश्न 5:
940\frac{9}{40}409 को दशमलव रूप में लिखिए।
उत्तर:
940=9×2540×25=2251000=0.225\frac{9}{40} = \frac{9 \times 25}{40 \times 25} = \frac{225}{1000} = 0.225409=40×259×25=1000225=0.225
5 महत्वपूर्ण FAQs (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)
प्रश्न 1: दशमलव भिन्न क्या होती है?
उत्तर: वह भिन्न जिसका हर 10,100,100010, 100, 100010,100,1000 आदि हो, उसे दशमलव भिन्न कहते हैं। जैसे 0.6 = 610\frac{6}{10}106।
प्रश्न 2: क्या हर दशमलव संख्या को भिन्न में बदला जा सकता है?
उत्तर: यदि वह समाप्त दशमलव है, तो हाँ; लेकिन यदि वह अनंत और गैर-पुनरावृत्ति दशमलव है, तो नहीं।
प्रश्न 3: 14\frac{1}{4}41 का दशमलव रूप क्या है?
उत्तर: 14=0.25\frac{1}{4} = 0.2541=0.25
प्रश्न 4: दशमलव को प्रतिशत में कैसे बदलते हैं?
उत्तर: दशमलव संख्या को 100 से गुणा करके प्रतिशत चिन्ह (%) लगाते हैं।
जैसे 0.75 × 100 = 75%
प्रश्न 5: दशमलव भिन्न का प्रयोग कहाँ होता है?
उत्तर: लंबाई, वजन, मुद्रा, समय, मापन आदि सभी दैनिक गणनाओं में दशमलव भिन्न का प्रयोग होता है।
निष्कर्ष
दशमलव भिन्न गणित का एक मौलिक अध्याय है, जो हमें संख्याओं को सटीक और छोटे भागों में व्यक्त करने में मदद करता है।
इससे जोड़-घटाव, गुणा-भाग, तुलना और मापन जैसे सभी कार्य आसान हो जाते हैं।
अतः दशमलव भिन्न का सही ज्ञान हर विद्यार्थी के लिए अत्यंत आवश्यक है।