परिचय
दौड़ एवं खेल (Races and Games) गणित के “मात्रात्मक अभिक्षमता” (Quantitative Aptitude) का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय में समय (Time), दूरी (Distance) और गति (Speed) की अवधारणाओं पर आधारित समस्याएँ हल की जाती हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे बैंक, SSC, रेलवे, बीमा और CAT आदि में यह विषय बार-बार पूछा जाता है।
इस ब्लॉग में हम दौड़ और खेल से जुड़ी मुख्य परिभाषाएँ, सूत्र, ट्रिक्स, उदाहरण और प्रश्न-उत्तर (FAQs) विस्तार से समझेंगे।
दौड़ (Race) की परिभाषा
दौड़ वह प्रतियोगिता होती है जिसमें दो या अधिक व्यक्ति या वाहन किसी निश्चित दूरी को तय करने के लिए प्रतिस्पर्धा करते हैं।
जो प्रतिभागी सबसे पहले लक्ष्य (Finish Point) तक पहुँचता है, वही विजेता कहलाता है।
प्रमुख शब्दावली
| शब्द | अर्थ |
|---|---|
| Race Course (दौड़ मार्ग) | वह पथ जिस पर दौड़ आयोजित होती है। |
| Starting Point (प्रारंभ बिंदु) | जहाँ से प्रतियोगिता शुरू होती है। |
| Winning Point (लक्ष्य बिंदु) | जहाँ तक दौड़ पूरी करनी होती है। |
| Dead Heat (समान परिणाम) | जब दो या अधिक खिलाड़ी एक साथ लक्ष्य तक पहुँचें। |
| Start देना (Giving Start) | जब किसी खिलाड़ी को शुरुआत में कुछ दूरी का लाभ दिया जाता है। |
खेल (Games) की अवधारणा
“खेल” शब्द यहाँ उन प्रतियोगिताओं के लिए प्रयोग होता है जिनमें अंक या स्कोर पर आधारित तुलना की जाती है — जैसे बॉल गेम, बिल्लियर्ड, कैरम आदि।
इसमें भी गति, अवसर और स्कोर के अनुपात के आधार पर प्रश्न पूछे जाते हैं।
महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas)
(1) समय-दूरी-गति संबंध
Distance=Speed×Time\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}Distance=Speed×Time Speed=DistanceTime\text{Speed} = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}}Speed=TimeDistance Time=DistanceSpeed\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}Time=SpeedDistance
(2) A ने B को x मीटर से हराया
यदि A, B को x मीटर से हराता है, तो जब A पूरी दूरी (D) तय करता है, B केवल D−xD – xD−x दूरी तय करता है।
इससे दोनों की गति का अनुपात होता है: A : B=D:(D−x)\text{A : B} = D : (D – x)A : B=D:(D−x)
(3) Start देना (Giving Start)
यदि A, B को x मीटर की शुरुआत देता है और दोनों समान समय में दौड़ पूरी करते हैं, तो उनका गति अनुपात भी यही होगा: A : B=D:(D−x)\text{A : B} = D : (D – x)A : B=D:(D−x)
(4) A ने B और C को अलग-अलग दूरी से हराया
यदि A, B को x मीटर और C को y मीटर की शुरुआत देता है, तो B और C के बीच शुरुआत इस प्रकार निकाली जाती है: BC=(D−x)(D−y)\frac{B}{C} = \frac{(D – x)}{(D – y)}CB=(D−y)(D−x)
ट्रिक्स (Short Tricks)
- “Start देना” प्रकार के प्रश्न में दूरी का अनुपात ही गति का अनुपात बनता है।
- यदि समय दिया हो तो “Speed = Distance / Time” का प्रयोग करें।
- “Dead Heat” की स्थिति में सभी खिलाड़ियों का समय समान होता है।
- यदि कोई खिलाड़ी “x मीटर से हराता है”, तो उस समय में दूसरे खिलाड़ी ने D−xD – xD−x दूरी तय की होती है।
- प्रश्नों को हल करते समय हमेशा एक समान इकाई (मीटर, सेकंड या किलोमीटर, घंटे) में बदलें।
उदाहरण और हल
उदाहरण 1:
100 मीटर की दौड़ में A, B को 10 मीटर से हराता है।
तो A : B = 100 : 90 = 10 : 9
यदि उसी दौड़ में B, C को 20 मीटर से हराता है, तो B : C = 100 : 80 = 5 : 4
इससे A : C = 10 : 9 × 5 : 4 = 50 : 36 = 25 : 18
अर्थात A, C को 100 – (100 × 18/25) = 28 मीटर से हराएगा।
उदाहरण 2:
100 मीटर की दौड़ में A, B से 10 मीटर आगे पहुँचता है। यदि A की गति 10 m/s है, तो B की गति क्या होगी?
हल:
A 100 m 10 सेकंड में तय करता है।
जब A 100 m तय करता है, तब B ने 90 m तय किए।
B का समय = 10 सेकंड
तो B की गति=90/10=9 m/s\text{B की गति} = 90/10 = 9 \text{ m/s}B की गति=90/10=9 m/s
उदाहरण 3:
A, B को 10 सेकंड में 50 मीटर से हराता है। तो A की गति क्या होगी यदि B की गति 5 m/s है?
हल:
B का समय = 10 सेकंड में 50 मीटर
तो B की कुल दूरी = 50 मीटर
A ने उसी समय में 50 + 50 = 100 मीटर तय किया होगा।
A की गति = 100 / 10 = 10 m/s
उदाहरण 4:
यदि 1 किमी की दौड़ में A, B को 40 मीटर और C को 64 मीटर की शुरुआत देता है, तो B, C को कितनी शुरुआत देगा?
हल:
A : B = 1000 : 960
A : C = 1000 : 936
B : C = (1000/960) × (936/1000) = 960 : 936 = 40 : 39
अर्थात जब B 1000 मीटर दौड़ेगा, C केवल 975 मीटर दौड़ेगा,
शुरुआत = 25 मीटर
उदाहरण 5:
यदि A की गति 6 km/hr है और B की गति 4.5 km/hr है, तो 300 मीटर की दौड़ में A, B को कितनी दूरी से हराएगा?
हल:
गति अनुपात = 6 : 4.5 = 4 : 3
अर्थात जब A 4 भाग दूरी तय करेगा, B 3 भाग तय करेगा।
तो B की दूरी = (3/4) × 300 = 225 मीटर
A, B को 75 मीटर से हराएगा।
प्रतियोगी परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु
- हमेशा समान इकाइयों में कार्य करें।
- अनुपात विधि को याद रखें, यह सबसे तेज तरीका है।
- “Start देना” और “हराना” — दोनों का अर्थ अलग होता है।
- Dead Heat के मामलों में कोई विजेता नहीं होता।
- खेलों में अंक आधारित प्रश्नों में भी यही अवधारणा लगाई जाती है (जैसे बिल्लियर्ड, कैरम इत्यादि)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
प्रश्न 1: Dead Heat का क्या अर्थ है?
उत्तर: जब दो या अधिक प्रतिभागी एक ही समय में लक्ष्य तक पहुँचते हैं, तो दौड़ Dead Heat कहलाती है। इसमें कोई विजेता नहीं माना जाता।
प्रश्न 2: “Start देना” का अर्थ क्या होता है?
उत्तर: जब किसी प्रतिभागी को आरंभ में कुछ दूरी का लाभ दिया जाता है, ताकि दोनों समान समय में दौड़ पूरी करें।
प्रश्न 3: यदि A, B को x मीटर से हराता है, तो दोनों की गति का अनुपात क्या होगा?
उत्तर: A:B=D:(D−x)A : B = D : (D – x)A:B=D:(D−x) जहाँ D दौड़ की कुल दूरी है।
प्रश्न 4: दौड़ और खेल में क्या अंतर है?
उत्तर: दौड़ दूरी पर आधारित होती है जबकि खेल अंक या स्कोर पर। परन्तु दोनों में समय-गति-अवसर की समान गणितीय अवधारणाएँ लागू होती हैं।
प्रश्न 5: इस अध्याय के प्रश्न किन प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं?
उत्तर: यह अध्याय बैंक, SSC, रेलवे, बीमा, CAT और अन्य सभी Quantitative Aptitude परीक्षाओं में आता है।
निष्कर्ष
दौड़ तथा खेल अध्याय में सफलता पाने के लिए आवश्यक है कि आप —
- समय, दूरी और गति के मूल सूत्रों को अच्छी तरह याद करें,
- अनुपात और प्रतिशत विधियों का अभ्यास करें,
- विभिन्न प्रकार के प्रश्न हल करें।
निरंतर अभ्यास से आप इन प्रश्नों को सेकंडों में हल कर पाएँगे।