समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
जिस त्रिभुज में दो भुजाएँ समान होती हैं, उसे अंग्रेज़ी में Isosceles Triangle कहा जाता है।
यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ a,b,ca, b, ca,b,c हों और इनमें से कोई भी दो समान हों, जैसे a=b≠ca = b \neq ca=b=c, तो वह समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।
इस त्रिभुज की समान भुजाओं के सामने वाले कोण भी समान होते हैं।
मुख्य विशेषताएँ (Properties):
- दो भुजाएँ समान होती हैं।
- समान भुजाओं के सामने वाले कोण समान होते हैं।
- शीर्ष से आधार पर खींची गई ऊँचाई आधार को दो समान भागों में बाँटती है।
- यह ऊँचाई शीर्ष कोण को भी दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
- इस ऊँचाई के कारण त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र (Formulas of Isosceles Triangle)
मान लीजिए समान भुजाएँ = aaa, और आधार (base) = bbb।
1. परिमाप (Perimeter)
P=2a+bP = 2a + bP=2a+b
यह सूत्र त्रिभुज की सभी भुजाओं के योग से प्राप्त होता है।
2. ऊँचाई (Height / Altitude)
h=a2−b24h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}h=a2−4b2
यह सूत्र पायथागोरस प्रमेय से निकाला जाता है क्योंकि ऊँचाई आधार को दो बराबर भागों में बाँट देती है।
3. क्षेत्रफल (Area)
(i) जब आधार और ऊँचाई ज्ञात हों: A=12×b×hA = \frac{1}{2} \times b \times hA=21×b×h
(ii) जब केवल भुजाएँ ज्ञात हों: A=b44a2−b2A = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 – b^2}A=4b4a2−b2
(iii) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (θ\thetaθ) ज्ञात हो: A=12×a×a×sin(θ)A = \frac{1}{2} \times a \times a \times \sin(\theta)A=21×a×a×sin(θ)
समद्विबाहु त्रिभुज के उदाहरण (Examples)
उदाहरण 1:
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 5 सेमी और आधार 8 सेमी हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: h=a2−b24=52−824=25−16=3h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}} = \sqrt{5^2 – \frac{8^2}{4}} = \sqrt{25 – 16} = 3h=a2−4b2=52−482=25−16=3 A=12×8×3=12 वर्ग सेमीA = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ वर्ग सेमी}A=21×8×3=12 वर्ग सेमी
उदाहरण 2:
यदि क्षेत्रफल 20 वर्ग सेमी और आधार 10 सेमी है, तो समान भुजा की लंबाई ज्ञात करें।
हल: h=2Ab=2×2010=4h = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 20}{10} = 4h=b2A=102×20=4 a=(b2)2+h2=52+42=41a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}a=(2b)2+h2=52+42=41
उदाहरण 3:
यदि समान भुजाएँ 6 सेमी और आधार 8 सेमी हो, तो परिमाप, ऊँचाई और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: P=2a+b=2×6+8=20P = 2a + b = 2 \times 6 + 8 = 20P=2a+b=2×6+8=20 h=62−824=20=25h = \sqrt{6^2 – \frac{8^2}{4}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}h=62−482=20=25 A=12×8×25=85A = \frac{1}{2} \times 8 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}A=21×8×25=85
(FAQs)
प्रश्न 1: समद्विबाहु त्रिभुज क्या होता है?
उत्तर: ऐसा त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की हों, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।
प्रश्न 2: समद्विबाहु त्रिभुज में कौन-कौन से कोण समान होते हैं?
उत्तर: समान भुजाओं के सामने वाले कोण समान होते हैं।
प्रश्न 3: समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है?
उत्तर: A=b44a2−b2A = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 – b^2}A=4b4a2−b2
जहाँ aaa समान भुजा और bbb आधार है।
प्रश्न 4: क्या समद्विबाहु त्रिभुज समकोण हो सकता है?
उत्तर: हाँ, जब इसके एक कोण का मान 90∘90^\circ90∘ हो, तो वह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज कहलाता है।
प्रश्न 5: समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज में क्या अंतर है?
उत्तर:
- समद्विबाहु त्रिभुज में केवल दो भुजाएँ समान होती हैं।
- समबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएँ समान होती हैं।