परिचय
नल एवं हौज (Pipes and Cisterns) गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है जो समय और कार्य (Time & Work) की अवधारणा पर आधारित है। इसमें नल (pipes) टंकी (cistern/tank) को भरने या खाली करने का कार्य करते हैं।
यह विषय विशेष रूप से प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे SSC, Banking, Railway, Police, CTET आदि में बार-बार पूछा जाता है।
नल एवं हौज की मूल अवधारणा
- भरने वाला नल (Inlet Pipe):
यह टंकी को भरता है।
यदि कोई नल टंकी को ‘x’ घंटे में भरता है, तो वह 1 घंटे में 1/x भाग भरता है। - खाली करने वाला नल (Outlet Pipe):
यह टंकी को खाली करता है।
यदि कोई नल ‘y’ घंटे में पूरी टंकी खाली करता है, तो वह 1 घंटे में 1/y भाग खाली करता है। - संयुक्त कार्य दर (Combined Rate):
यदि एक भरने वाला नल और एक खाली करने वाला नल साथ काम करें,
तो कुल दर होगी = (1/x – 1/y)।
यदि उत्तर धनात्मक (positive) हो → टंकी भरेगी।
यदि उत्तर ऋणात्मक (negative) हो → टंकी खाली होगी।
नल एवं हौज के प्रमुख सूत्र
- दो भरने वाले नलों के लिए समय: समय=xyx+yसमय = \frac{xy}{x + y}समय=x+yxy
- एक भरने और एक खाली करने वाले नल के लिए: समय=xyy−x(जबy>x)समय = \frac{xy}{y – x} \quad (जब y > x)समय=y−xxy(जबy>x)
- तीन नलों (A, B, C) के लिए: समय=xyzxy+yz+zxसमय = \frac{xyz}{xy + yz + zx}समय=xy+yz+zxxyz
- लीकेज (Leak) से जुड़ा सूत्र:
यदि टंकी को भरने में सामान्यतः x घंटे लगते हैं और लीकेज के कारण y घंटे लगते हैं,
तो लीक अकेला टंकी को खाली करेगा: xyy−x घंटे में\frac{xy}{y – x} \text{ घंटे में}y−xxy घंटे में - आंशिक रूप से भरी टंकी:
यदि टंकी का n भाग भरा हुआ है, तो शेष भाग = (1 – n)।
समय = शेष भाग ÷ नेट दर।
नल एवं हौज हल करने की ट्रिक्स (Short Tricks)
- LCM ट्रिक:
नलों के समयों का LCM लीजिए → यही कुल कार्य मान लीजिए।
फिर 1 घंटे में किया गया कार्य = (LCM ÷ समय)।
सभी नलों का योग या अंतर लेकर कुल दर निकालिए।
समय = (कुल कार्य ÷ कुल दर)। - साइन ट्रिक (Positive / Negative):
- भरने वाले नल का दर +
- खाली करने वाले नल का दर –
नेट दर के चिन्ह से तय होगा कि टंकी भरेगी या खाली होगी।
- फ्रैक्शन ट्रिक:
कभी-कभी भरे भाग को भिन्नों में बदलकर तुलना करना आसान होता है।
जैसे — आधी टंकी = 1/2, तीन चौथाई = 3/4, आदि। - आंशिक समय ट्रिक:
यदि कोई नल कुछ समय बाद बंद हो जाता है, तो पहले चरण में भरा भाग निकालिए,
फिर शेष भाग के लिए दूसरे चरण का समय जोड़िए। - लीक ट्रिक:
जब टंकी धीमी गति से भरे, तो समझिए कि कोई लीक या आउटलेट नल भी काम कर रहा है।
लीक की दर = (भरने वाली दर – वास्तविक दर)।
उदाहरण सहित समाधान
उदाहरण 1
एक नल 12 घंटे में टंकी भरता है और दूसरा 18 घंटे में। दोनों एक साथ खोलने पर टंकी भरने में कितना समय लगेगा?
हल:
1 घंटे में कार्य = 1/12 + 1/18 = (3 + 2)/36 = 5/36
अतः समय = 36/5 = 7.2 घंटे (7 घंटे 12 मिनट)
उदाहरण 2
एक नल 10 घंटे में टंकी भरता है और दूसरा 15 घंटे में खाली करता है।
दोनों एक साथ खोलने पर टंकी भरने में कितना समय लगेगा?
हल:
नेट दर = 1/10 – 1/15 = (3 – 2)/30 = 1/30
अतः समय = 30 घंटे
उदाहरण 3
एक टंकी बिना लीक के 8 घंटे में भरती है, परंतु लीक होने से 10 घंटे लगते हैं।
लीक अकेला टंकी कितने घंटे में खाली करेगा?
हल:
लीक की दर = 1/8 – 1/10 = (10 – 8)/80 = 1/40
अतः लीक अकेला टंकी को 40 घंटे में खाली करेगा।
उदाहरण 4
एक नल टंकी को 6 घंटे में भरता है। आधी टंकी भरने के बाद दो समान नल और जोड़ दिए जाते हैं।
पूरी टंकी भरने में कुल कितना समय लगेगा?
हल:
पहली आधी टंकी: 3 घंटे में भरी।
अब तीनों मिलकर दर = 3 × (1/6) = 1/2 → पूरी टंकी 2 घंटे में भर सकते हैं।
पर शेष केवल 1/2 टंकी बची है → समय = 1 घंटे।
कुल समय = 3 + 1 = 4 घंटे।
अभ्यास प्रश्न
दो नल क्रमशः 12 और 16 घंटे में टंकी भरते हैं। तीसरा नल 20 घंटे में खाली करता है।
तीनों एक साथ खोलें तो टंकी कितने घंटे में भरेगी?
एक नल 8 घंटे में टंकी भरता है। लीक के कारण टंकी 10 घंटे में भरती है।
लीक अकेला टंकी कितने घंटे में खाली करेगा?
दो नल 15 और 20 घंटे में टंकी भरते हैं। यदि दोनों साथ खोलें और 4 घंटे बाद पहला नल बंद कर दिया जाए, तो कुल समय?
एक टंकी आधी भरी है। एक नल 6 घंटे में टंकी भरता है और दूसरा 8 घंटे में खाली करता है। दोनों खोलें तो पूरी टंकी भरने में कितना समय लगेगा?
तीन नल A, B, C क्रमशः 8, 12 और 24 घंटे में टंकी भर सकते हैं।
तीनों एक साथ खोलने पर टंकी भरने में कितना समय लगेगा?
(उत्तर: 1) 11h 26m 2) 40h 3) 10h 4) 24h 5) 4h)
तैयारी की रणनीति
- पहले समय और कार्य की अवधारणा मजबूत करें।
- हर प्रश्न को भिन्नों और दरों में सोचें।
- LCM-ट्रिक अभ्यास करें – यह सबसे तेज़ तरीका है।
- चरणबद्ध प्रश्न (कुछ देर बाद बंद करना, पहले से भरी टंकी) पर विशेष अभ्यास करें।
- प्रतिदिन 10–15 सवाल हल करने की आदत बनाएँ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
1. नल एवं हौज के सवाल किस विषय से जुड़े हैं?
ये सवाल “समय और कार्य” (Time & Work) पर आधारित होते हैं।
2. इनलेट और आउटलेट नल में अंतर क्या है?
इनलेट नल टंकी भरता है, जबकि आउटलेट नल टंकी खाली करता है।
3. यदि नेट दर ऋणात्मक (negative) आती है तो क्या होगा?
इसका अर्थ है कि टंकी भरने के बजाय खाली हो रही है।
4. नल एवं हौज के सवाल जल्दी कैसे हल करें?
LCM-method और दर (rate) की अवधारणा का अभ्यास करें। भिन्नों से सोचें, अनुमान नहीं।
5. क्या यह अध्याय सभी परीक्षाओं में पूछा जाता है?
हाँ, लगभग हर प्रतियोगी परीक्षा में Pipes and Cisterns पर प्रश्न अवश्य आता है।
निष्कर्ष
नल एवं हौज अध्याय में सफलता की कुंजी है दर (Rate) को समझना और LCM-method से तेज़ी से हल करना।
थोड़े अभ्यास से यह अध्याय सबसे आसान और स्कोरिंग भाग बन सकता है।